Il fenomeno dell’oscuramento al bordo (limb darkening) che fa diminuire la luminosità dal centro al bordo solare è dovuto al decrescere della temperatura e della densità col progressivo allontanamento dal centro. Quindi quando guardiamo al sole (utilizzando appositi filtri) man mano che ci allontaniamo dal centro si vedono strati più alti della fotosfera meno densi e con temperature minori.

In questo articolo faremo un’analisi di una immagine del disco solare in luce visibile ottenuta il 30/03/2008 da Codroipo-Udine con telescopio Newton 130/900 e filtro solare Pellicola solare R-G Thousand Oaks Optical per calcolare le diverse altezze della fotosfera mano a mano che ci allontaniamo dal centro del sole.
Faremo un’analisi di ogni pixel dell’immagine del sole da Est a Ovest analizzando così tutto l’equatore solare approfittando di questa immagine che non presenta macchie sulla linea dell’equatore, che potrebbero compromettere i risultati finali.

 

Per comprendere meglio questo fenomeno dobbiamo introdurre il concetto di profondità ottica che da la misura di quanto sia opaco un gas, oppure la quantità di luce che viene dispersa durante un dato percorso.
Se I_o è l’intensità della radiazione al centro del disco solare ed I l’intensità osservata dopo un certo percorso allontanandosi dal centro, allora la profondità ottica T è definita da: 

T = ln(I/I_o)                  (1) 

T varia entro 0 e 1. Il valore di 1 corrisponde al gas totalmente opaco e 0 corrisponde al gas totalmente trasparente.
La profondità ottica  è differente per ogni longitudine d’onda, nella luce visibile l’intensità della radiazione solare diminuisce ai bordi fino a 2/3 di quella del centro.
 

Figura 1

Nella figura 1 un osservatore sulla Terra che guarda il centro solare vede lo strato fotosferico A, invece guardando vicino al bordo nel punto B lo strato che vede è posizionato più in alto nella fotosfera e quindi meno denso e con temperatura minore. La linea visiva da A al bordo solare è uguale a quella da B al bordo. Ma lo strato fotosferico è sempre meno denso con minore temperatura e quindi con una profondità ottica maggiore. Infatti è questa la ragione per cui una persona che guarda dalla terra il punto B nel sole è più scuro del punto A

   

 
Figura 2

 

In questa figura è rappresentato il grafico che da la profondità ottica dell’immagine. Trasformando l’immagine a colori in bianco e nero e prendendo il valore del pixel centrale del sole come I_o ed ogni pixel diretto verso il bordo come I e applicando la formula (1).

Tabella della profondità ottica dal centro a un bordo solare
Considerando 0 il centro della fotosfera 

Percentuale	Profondità ottica
0% (centro)	0.00
10%	0.01
20%	0.01
30%	0.03
40%	0.04
50%	0.05
60%	0,07
70%	0.12
80%	0.15
90%	0.23
100%(bordo)	0.45

 

Dalla tabella precedente si evidenzia che la luminosità solare al bordo diminuisce  di 2/3 rispetto al centro del disco.
Adesso vediamo che valore si vede per ogni pixel dell’immagine dal centro al bordo del disco solare.
Partiamo dalla costante solare C=1,37 x 10⁶ erg/cm² s che è l' energia che ci arriva in una unità di tempo per centimetro quadrato sulla superficie terrestre, questo valore è facilmente misurabile con un errore del 1%. 
Ora dobbiamo calcolare l’energia irradiata dal sole in una sfera con raggio di 1 unità astronomica (1UA=1,496x10¹³ cm)  che sarà l’energia totale irradiata dal sole in tutte le direzione alla distanza Terra-Sole.

Q=4πr² x C =  4 π (1.496 x 10¹³ cm)²  x 1.37 x 10⁶ erg cm^-2 s^-1  = 3.85 x 10³³ erg s^-1

Adesso riferiamoci alla superficie solare e calcoliamo l’energia emessa dal sole per centimetro quadrato nel modo seguente:

e = Q/4 πr²  dove r è il raggio solare 696000km o 6,96x10¹⁰ cm

e = Q/4 πr²  = 3.85 x 10³³ erg s^-1/4 π(6,96 x10¹⁰)² = 6.325 x 10¹⁰ erg cm^-2 s^-1

Adesso applichiamo la legge di Steffan Boltzman per determinare la temperatura effettiva del sole 

e = σ T⁴ e quindi T =⁴√e/ σ e quindi T=⁴√6.325x10¹⁰/5.67040x10^-5 = 5779ºK

il valore accettato per la temperatura effettiva del sole è di 5770ºK

All'interno del sole ogni punto deve mantenere un equilibrio idrostatico in cui la differenza di pressione che ha ogni strato si equilibra con l’attrazione gravitazionale.

Se PA è la pressione nel limite superiore di una strato e Pb è la pressione nel limite inferiore di questo strato l’equilibrio si trova in:

PB – PA = ρ g H   (1)

dove ρ è la densità media dello strato, H il suo spessore e g l’accelerazione della gravità.

Per calcolare g utilizziamo la legge della gravità di Newton in cui si dice che:

g= GM/r²

dove M massa del sole (1.9891 x 10³³ g), r il suo raggio(6.9626x10¹⁰ cm) e G la costante di gravitazione (6.67428x10^-8  cm³ g^-1 s^-2) e quindi si trova:

g = 274 m/s² = 27400 cm/s²
 

Continuiamo applicando l'equazione dello stato dei gas perfetti dove P = ρRT/m, e dove R =  8.314472 J/K mol  sostituendo PA e PB in (1), considerando che PA tende a zero, otterremo:

PB = ρRT/m di conseguenza  ρRT/m = ρgH e quindi H = RT/mg (2)

Ora possiamo conoscere la profondità della fotosfera conoscendo la temperatura, la massa e la gravità, quindi:

H = RT/mg = 184 km

 

Dobbiamo adesso calcolare la temperatura per ogni pixel e questa la calcoliamo utilizzando la legge di Steffan Boltzman di nuovo e quindi applichiamo la seguente formula:

 

T* = T_eff ⁴√I*/I

 

E come risultato si ottiene la seguente tabella:

Percentuale	Profondità ottica	Temperatura
0% (centro)	0	5770ºK
10%	0.01	5761ºK
20%	0.01	5751ºK
30%	0.03	5732ºK
40%	0.04	5713ºK
50%	0.05	5694ºK
60%	0,07	5665ºK
70%	0.12	5605ºK
80%	0.15	5553ºK
90%	0.23	5446ºK
100%(bordo)	0.45	5182ºK

 

Prendiamo quindi l’equazione (2) e troviamo l’altezza per ogni temperatura:  H = RT/mg

 

Percentuale	Profondità ottica	Temperatura	Altezza
0% (centro)	0	5770ºK	0 km
10%	0.01	5761ºK	0 km
20%	0.01	5751ºK	1 km
30%	0.03	5732ºK	1 km
40%	0.04	5713ºK	2 km
50%	0.05	5694ºK	2 km
60%	0,07	5665ºK	3 km
70%	0.12	5605ºK	5 km
80%	0.15	5553ºK	7 km
90%	0.23	5446ºK	10 km
100%(bordo)	0.45	5182ºK	20 km

 In questo grafico si vede come varia l’altezza visibile della fotosfera solare, in km, rispetto al centro del disco nell’immagine del 30/03/2008.

CONCLUSIONE: L'altezza visibile dalla Terra del bordo solare sale di circa 20km rispetto al centro del disco in luce visibile. Bisogna ricordare che per ogni lunghezza d'onda questo effetto è diverso e l’oscuramento al bordo può non presentarsi, oppure come nel caso dell’ultravioletto con lounghezza d’onda minore a 160nm si presenta l’illuminamento del bordo.

 

30/05/2009